Подскажите, пожалуйста, кто на данный момент занимается доставкой продукции из Москвы в ОАЭ, Грузию, и другие страны? Моей компании в скором времени такие услуги на постоянной основе понадобятся.

Думаю, Вам таможенный брокер нужен, а не обычный грузоперевозчик. Тогда все проблемы Вашей компании будет решать он - и документы собирать, и оформлять их, и доставкой заниматься. Вы можете, например, обратиться в данную организацию https://trans-export.com/ . Она такие услуги уже долгое время предоставляет, и репутация у неё хорошая.