Есть хостинг и форум. Хостинг - не нравится а на форуме есть много сообщений.
Если я скачаю копию MYSQL БД форума, то можно быть спокойным что я этот скачаный файл
смогу установить на другой хост и все сообщения и темы форума останутся?
Это как сложно делать то?

все сообщения останутся если вы копию бд сделаете, ничего сложно при переносе нет просто несколько строчек изменить и все

Какие строчки нужно изменить?

Если на хорошего хостера переезжаете. То он обычно помогает при переносе сайта. Говорите ему лог и пасс доступа к ФТП и базе старого хоста и он всё переносит. Остаётся только конфиги подправить и всё.